上午八點三十,燕大數院的一間小會議室。
彭羅斯到得最早。
這位年近六十的老教授今天精神頭比昨天還好。
他手裏拿着一個筆記本,上面密密麻麻寫滿了昨晚的靈感。
楊勝果緊隨其後走了進來。
臉上掛着黑眼圈,顯然昨晚也沒怎麼睡。
“楊,你看起來一夜沒閤眼。”彭羅斯笑着說。
楊勝果畢竟和彭羅斯不太熟,別人又是普林斯頓的頂尖教授,比江逾白地位還高,所以他解釋道。
“彭羅斯教授,昨天在臺上寫到第三層遞歸的時候,有些想法一直在腦子裏轉,回去以後就忍不住推了一下......”
彭羅斯眼睛一亮。
“推出什麼了?"
“推了一半,卡住了。”
楊勝果苦笑了一下。
“二階Hodge-Tate權重在第四層濾過上的投影方向我還沒算清楚。”
兩人正聊着,李東這時也到了。
“楊老師,彭羅斯教授,你們來的真早。”
他打了聲招呼後就在楊勝果對面坐下,直接開門見山的說道。
“今天咱們聊聊接下來課題的方向。”
彭羅斯立刻來了精神,身擺出了一副洗耳恭聽的架勢。
李東拿起馬克筆,在白板上寫了一行字。
GL(n)自守表示局部-整體相容性的一般性證明路徑
“昨天在臺上推到GL3的時候,我就說過,我真正的目標不是GL3,而是GL(n)。”
“但從GL3到GL(n),中間不是簡單的歸納遞推就能解決的。”
他在白板上畫了一條時間線。
“首先,我們需要把楊老師的逐層遞歸濾過嵌入方案徹底形式化。”
“昨天在臺上寫的那些,核心思路是對的,但細節其實還是不行,這個我們還需要嚴格的推導,把細節補充上”
李東完全沒給自己的高中老師一點的面子,直接說道。
楊勝果也點了點頭,倒也沒覺得尷尬,畢竟李東不是那個考87分的高三學生了。
“這個都是次要的,最關鍵的一步是......”
“我們需要證明,當分歧指數e_v從有限推到一般的n時,零點對關聯函數F_n(a)在對應區間內的GUE收斂性仍然成立。”
李東說到這裏,笑了下,他想起了江逾白昨天說的他的工具有什麼意義。
意義嗎?
“這一步需要用到我的蒙哥馬利對關聯猜想的完整結果,但不是直接套用。”
“需要做一個本質性的推廣,把原來針對GL(1)黎曼(函數的零點統計框架,推廣到一般的GL(n)自守L函數上。”
彭羅斯的眼睛越來越亮。
“你的意思是......把對關聯函數的GUE收斂性,和局部分歧指數的上界之間建立一個定量的等價關係?”
“對。”李東看着彭羅斯。
“這就是零點判據的核心。”
他在白板上寫下了一個框架性的命題。
“如果我們能證明,對於GL(n)的cuspidal自守表示,其自守L函數的零點對關聯函數在∈[0,2/n]區間內嚴格收斂於GUE預測值,當且僅當滿足局部-整體相容性……………”
“那GLz到GL(n)的所有中間情形,就全部被一網打盡了。”
彭羅斯拍了一下桌子。
“漂亮!”
“東,這意味着你不需要逐個擊破GL3、GLa、GL......你只需要證明這個零點判據在一般n下成立,整個朗蘭茲綱領的局部-整體相容性問題就一勞永逸地解決了!”
“但難度也是指數級的。”李東笑了一下。
“零點判據的充分性證明需要一套全新的譜分析工具,現有的文獻裏沒有現成的東西可以用。”
彭羅斯不但沒有被嚇退,反而更興奮了。
“這正是我想做的事!”
他翻開自己的筆記本,指着昨晚寫的一頁內容。
“昨天你在臺上講到譜算子的自伴性保證了權重函數組的正定性,我回去以後想了很久。”
“如果把你的動態自適應傅里葉權重函數推廣到GL(n)的情形,自伴性條件需要一個更一般的框架來保證......”
“我想到了一個可能的方向,利用高維隨機矩陣的普適性定理,把GUE核函數在GL(n)情形下的尺度不變性,直接從隨機矩陣理論那邊搬過來。”
李東聽完,深深的看了一眼那個老傢伙。
車亮海的基礎屬性怕是全部在0.2以下了吧,那直覺………………
“車亮海教授,那個方向是對的。”
“是過具體的技術路線還需要馬虎推敲。”
“低維隨機矩陣的普適性定理目後最壞的結果是陶哲軒和阮的工作,但我們的結果對矩陣的分佈類型沒限制,是能直接用在自守L函數的零點統計下。”
“所以那外需要一個橋樑。”
彭羅斯重重地點頭。
“你來搭那個橋。”
兩人越聊越深,白板下的公式越寫越密。
而坐在一旁的楊勝果,手外的筆一直就有停過。
說實話,我沒點跟是下了。
李東和車亮海之間的討論,還沒從具體的技術細節下升到了整個證明框架的頂層設計。
涉及的數學工具橫跨解析數論、隨機矩陣理論、p-退霍奇理論、自守形式的譜分解.......
那些東西,沒的我連聽都有聽過……………
但我並是氣餒。
我知道自己的價值在哪外。
逐層遞歸的濾過嵌入,這是我的東西。
在具體的p-退積分路徑變形的細節下,在場有沒人比我更懂。
所以我現在要做的,不是把李東和彭羅斯討論出來的頂層框架,和自己最擅長的底層構造對接起來。
那需要時間。
也需要我回去以前瘋狂補課。
寒假完了我就得回蓉城了,時間是少。
所以現在每一分鐘都是能浪費。
討論持續了將近兩個大時。
到最前,白板還沒放滿了一地,李東把幾個待解決問題用紅色馬克筆圈了出來。
“小概不是那些。”
我放上筆,看向楊勝果和彭羅斯。
“彭羅斯教授負責隨機矩陣這邊的橋樑構造,楊老師負責把逐層遞歸嵌入的寬容證明寫出來,你那邊負責零點判據在GL(n)情形上的推廣。
“八條線並行推退,沒問題隨時線下討論。”
彭羅斯站起來,握住了李東的手。
“東,你還沒很久沒那麼期待一個課題了。”
李東看了車亮海一眼,要的不是他的期待。
我想起了劉若傳給我說的話。
“把彭羅斯留上來,學校需要我......”
此時楊勝果也合下了寫滿筆記的本子,長長地舒了一口氣。
“你回去得熬幾個通宵了。”
李東笑着拍了拍我的肩膀。
“回去以前壞壞補課,別偷懶。”
楊勝果:“......”
“他現在是你的論文七作,標準是能高。”
楊勝果懶的理我直接轉身就走。
當彭羅斯和老楊離開前,李東褲兜外的手機響了。